Резонансные взаимодействия волн Пуанкаре в приближении мелкой воды. Нелинейное насыщение волн Пуанкаре

Авторы
Климачков Д.А.(1), Петросян А.С.(1,2)
Организации
(1) Институт космических исследований Российской академии наук
(2) Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Сессия
Теория и моделирование физических процессов
Форма представления
Устный
Место работы научного руководителя
Институт космических исследований Российской академии наук
Научный руководитель
Петросян Аракел Саркисович
Текст тезисов
Волны Пуанкаре традиционно изучаются при исследовании крупномасштабных течений вращающейся плазмы на плоской поверхности. Волны Пуанкаре — это медленные крупномасштабные волны во вращающейся тяжелой жидкости. Поскольку такие волны относятся к медленным планетарным гидродинамическим процессам, в которых выполняется условие малости числа Россби (отношения адвективного ускорения к ускорению Кориолиса), следовательно, в геофизическом потоке гидродинамика определяется слагаемым Кориолиса, влиянием силы инерции пренебрегают. Волны Пуанкаре формируют динамику атмосферы Земли и планетных атмосфер, а также определяют процессы в океане.
Приближение мелкой воды широко используется для описания крупномасштабных течений в геофизической гидродинамике. В этом приближении предполагается, что характерные длины исследуемых волн много больше высоты слоя жидкости. Классические уравнения мелкой воды получаются из полной трехмерной системы уравнений гидродинамики, записанной для тонкого слоя несжимаемой жидкости со свободной границей в поле силы тяжести. Полная система интегрируется вдоль вертикальной оси с учетом гидростатического распределения давления и малой высоты слоя по сравнению с характерным горизонтальным масштабом течения. В результате получается гиперболическая система уравнений в частных производных, описывающая горизонтальные течения в тонком слое вращающейся жидкости.
Работа посвящена развитию слабонелинейной теории волн Пуанкаре. Закон дисперсии для исследуемых волн отличается от закона дисперсии гравитационных волн в невращающейся жидкости. При отсутствии вращения закон дисперсии является вырожденным, поэтому приближение слабой нелинейности не допускает резонансных взаимодействий гравитационных волн. Тем не менее в этом случае в приближении слабой нелинейности существуют эффекты следующего порядка теории возмущений, описывающие модуляцию пучка гравитационных волн. Закон дисперсии для волн Пуанкаре является невырожденным, что позволяет ожидать резонансных взаимодействий в приближении слабой нелинейности. Тем не менее, качественный анализ формы дисперсионных поверхностей волн Пуанкаре показывает невозможность трехволновых резонансов в первом порядке по малой амплитуде. Показано, что дисперсионное соотношение волн Пуанкаре допускает существование четырехволновых резонансных взаимодействий в более высоком порядке возмущения. В работе методом асимптотических разложений развита слабонелинейная теория резонансных взаимодействий волн Пуанкаре. Во втором порядке возмущений получено уравнение медленно меняющейся огибающей взаимодействующих волн. В третьем порядке возмущений получена система амплитудных уравнений, описывающая четырехволновые взаимодействия взаимодействующих волн Пуанкаре. В простейших случаях волны накачки описана нелинейная динамика взаимодействующих волн. Найдены инкременты неустойчивостей. Получено уравнение сохранения энергии. В полученной системе для четырех взаимодействующих волн найдены точные решения для амплитуд при некотором начальном распределении энергии.
Работа поддержана Фондом развития теоретической физики и математики «Базис».